一元函数图 Plot(f(x))
描绘的是自变量 x 和因变量 y = f(x) 之间的静态关系. 直观展示函数在整个定义域或某个区间上的整体形态、变化趋势和关键特征。
x -- 变量
核心概念与基础性质:
多项式函数 (展示根、极值点、拐点)： 清晰展示三次多项式的行为：一个局部极大值、一个局部极小值、一个拐点、三个实根（或一个实根两个复根，取决于具体值）。观察导数为零处（极值点）和二阶导数为零处（拐点）。
Plot(x^3-6x^2+4x+12,x=[-2,8])
三角函数组合 (展示叠加、拍频): 展示不同频率三角函数的叠加效果。可以观察到低频包络线（由频率差决定）和高频振荡（由频率和决定），即“拍频”现象。
Plot(sin(x)+cos(3x),x=[-2@pi,2@pi])
指数衰减 (展示渐近行为): 经典的自然衰减模型（如放射性衰变、RC电路放电）。清晰展示函数从1开始单调递减，并无限趋近于x轴（y=0）但永不触及（渐近线）
Plot(exp(-x),x=[0,5])
对数函数 (展示增长缓慢、定义域限制): 展示对数函数的特性：增长极其缓慢（对比指数函数），是偶函数（因为 x²+1），始终在x轴上方（值域 [0, ∞)），在x=0处取得最小值0
Plot(ln(x^2+1),x=[-5,5])
应用场景与模型:
阻尼振荡 (物理 - 弹簧振子、RLC电路)： 模拟受阻尼的简谐振动。指数部分 e^{-0.2x} 代表振幅的衰减（阻尼），sin(x) 代表振荡。图像显示振荡幅度随时间逐渐减小。
Plot(exp(-0.2x)*sin(x),x=[0,20])
正态分布 (概率统计): 展示著名的钟形曲线。对称于y轴，在 x=0 处取得最大值 1/√(2π) ≈ 0.4，在 |x| > 2 后迅速衰减接近0。这是统计学中最核心的分布之一。
Plot(exp((-x^2)/2)/sqrt(2@pi),x=[-3,3])
需求曲线 (经济学): 展示典型的需求定律：价格(x)上涨，需求量(f(x))下降。函数单调递减，有下界（这里假设最小需求为0.5）。曲线形状反映需求弹性
Plot(1/(x+1)+0.5,x=[0,10])
Sinc 函数 (信号处理): 在信号处理（特别是采样定理）中极其重要。函数关于y轴对称，在 x=0 处值为1，在 x = ±kπ (k=1,2,3...) 处值为0。振幅随着 |x| 增大而衰减。主瓣和旁瓣清晰可见。
Plot(sin(x)/x,x=[-20,20])
有趣性质与特殊函数:
绝对值函数与振荡 (展示尖点与振荡): 函数在 x=0 处有尖点（不可导）。|x| 使得振幅随 |x| 增大而增大，sin(x) 提供振荡。图像像一条振幅不断增大的波浪线，且在原点“尖锐”地穿过x轴。
Plot(abs(x)*sin(x),x=[-10,10])
指数爆炸与振荡: 与阻尼振荡相反。指数部分 e^{0.1x} 代表振幅的指数级增长，sin(x) 提供振荡。图像显示振荡幅度随时间迅速增大。可类比某些不稳定系统或正反馈。
Plot(exp(0.1x)*sin(x),x=[0,30])
函数极限的经典例子: 当 x 趋近于0时，函数值在 [-1, 1] 之间无限次、无限快速地振荡。图像在0附近非常密集，无法趋近于任何一个特定的值，直观展示极限不存在。这是分析学中的一个经典例子。
Plot(sin(1/x),x=[-1,1])
多曲线函数图 Plot(f1(x), f2(x),...)
多个相关函数置于同一坐标系下，极大地增强了单图的信息量和分析能力，直观地揭示了仅靠单个函数图或分开的多个单函数图难以捕捉的对比关系和差异特征。
比较奇偶性/对称性: 直观展示 sin(x) 是奇函数 (关于原点对称)，sin(-x) 与之重合或镜像
Plot(sin(x),sin(-x),x=[-2@pi,2@pi])
展示参数影响 (阻尼振动): 清晰对比不同阻尼系数 (0.1, 0.5, 2.0) 对简谐振子振幅衰减速度的影响
Plot(exp(-0.1x)*sin(x),exp(-0.5x)*sin(x),exp(-2x)*sin(x),x=[0,20])
比较不同阶多项式的增长：清晰展示线性、二次、三次函数在 x > 1 区域增长速度的显著差异 (x^3 > x^2 > x)，直观理解函数阶数对增长趋势的影响。
Plot(x,x^2,x^3,x=[0,5])
展示基础函数的振荡差异：比较不同频率（ω=1 vs ω=2）正弦波的振荡周期和密度。直观显示频率加倍如何使波形在相同 x 范围内振荡次数翻倍。
Plot(sin(x),sin(2x), x=[0,4@pi])
比较衰减速率：对比不同衰减常数（λ=1 vs λ=0.5）的指数衰减。清晰显示衰减常数越小（0.5 < 1），函数值衰减得越慢。
Plot(exp(-x), exp(-0.5x),x=[0,10])
理解函数界限： 直观验证正弦函数的取值范围 [-1, 1] 以及它在哪些 x 点达到边界。
Plot(sin(x),1,-1,x=[0,2@pi])
比较不同优化器的收敛 (简化)：用简单函数模拟优化过程中损失随迭代次数 x 的下降。1/x 代表较快下降（如 Momentum），1/√x 代表较慢下降（如基础 SGD）。对比收敛速度差异。
Plot(1/x,1/(x^0.5), x=[1,100])
比较概率分布密度形状：对比两种重要概率密度函数：正态分布（钟形、轻尾）和贝塔分布（尖峰、重尾）。突出它们在峰值陡峭度和尾部衰减速度上的显著差异。
Plot([normpdf(x,2,1), betapdf(x,2,1)], x=[-5, 5])
时域函数图 Plot(f(x,T))
在绘制函数 f(x+T) 时，我们不是用当前时间 x 的值，而是用 T 时间单位之后（或之前）的时间点 (x + T) 的值。 观察和分析一个函数（信号）在时间轴上发生平移后的效果。
x -- 变量
T -- 动画参数
基础波形动画:
标准正弦波平移: 完整正弦波沿x轴向左平滑移动
Plot(sin(x + T))
压缩正弦波: 频率加倍的正弦波快速向左移动
Plot(sin(2x + T))
衰减波包: 振幅指数衰减的波包向右传播
Plot(e^(-0.1x) * sin(x + T))
调制与复合波形:
调幅波(AM): 载波频率5Hz，振幅以0.25Hz低频振荡
Plot((1 + 0.5*sin(0.5T)) * sin(5x + T))
调频波(FM): 瞬时频率随T周期性变化
Plot(sin(3x + 2*sin(0.3x+T)*x))
物理现象模拟:
驻波: 波节位置固定，波腹振幅周期性变化
Plot(sin(x-T) + sin(x+T))
行波反射: 入射波与衰减反射波叠加
Plot(sin(x-T) + 0.7*sin(-x-T))
特殊波形:
混沌振荡: 双频率耦合产生准周期运动
Plot(sin(x+T) + 0.5*sin(πx + 2T))
多曲线时域动画图 Plot(f1(x,T), f2(x,T), ...)
将多条曲线、时间演化和动画结合在一起，用于展示随时间变化的多组数据或函数关系。 揭示动态系统中多个相关量随时间和另一个变量共同演化的复杂关系。
x -- 变量
T -- 动画参数
基础波形组:
两条正弦波交替呈现"峰-谷"互补
Plot(
sin(x + T), # 基准波
sin(x + T + π/2) # 超前90°的波
)
频率阶梯: 不同频率波形同步平移，展示谐波关系
Plot(
sin(x + T), # 基波
sin(2x + T), # 二倍频波
sin(3x + T) # 三倍频波
)
调制对比: 振幅变化 vs 相位抖动的直观对比
Plot(
(1 + 0.5*sin(T)) * sin(x), # 调幅波
sin(x + 2*sin(T)) # 调相波
)
物理现象组:
行波与驻波: 观察行波如何叠加形成固定波节的驻波
Plot(
sin(x - T), # 向右传播的行波
sin(x - T) + sin(x + T) # 形成的驻波
)
多普勒频移模拟: 运动波源的波形压缩/拉伸效应
Plot(
sin(10x), # 静止波源
sin(10*(x - 0.5*sin(T))) # 运动波源的波
)
偏振合成: 线偏振→圆偏振的动态转变
Plot(
sin(T)*sin(x), # X方向分量
cos(T)*cos(x), # Y方向分量
sin(T)*sin(x) + cos(T)*cos(x) # 合成光波
)