复变函数的实部和虚部关系三维图
ReImPlot3D(expression1) 不再将自变量限制在实轴上，而是允许其在复平面的一个区域上自由变化。它通过两个三维曲面来完整地表示一个复变函数.
ReImPlot3D 将复变函数从抽象的公式变成了可视化，理解函数奇点（极点、分支点）、全局特性（解析性、周期性）和特殊行为（如ζ函数的零点）
1. 平方根函数
实部曲面 (u(x,y))： 形状像一个拧毛巾的曲面。
虚部曲面 (v(x,y))： 形状像一个螺旋桨或双曲抛物面。
在物理学中，sqrt(z) 经常出现在涉及平方关系的领域，例如波矢 k = sqrt(ω² - ω_c²) 在波导理论中的计算，正确处理其分支至关重要。
ReImPlot3D(sqrt(x),x=[-3-3@i,3+3@i])
2. 倒数函数
实部曲面：u(x,y) = x/(x²+y²)。形状像一个无限高的漏斗或尖峰。
虚部曲面：v(x,y) = -y/(x²+y²)。
极点可视化：这个图形将极点 (Pole) 的概念展现得淋漓尽致。
电磁场应用：在电磁学中，1/z 可以表示一个二维点电荷的复电位。
ReImPlot3D(1/x,x=[-3-3@i,3+3@i])
3. 指数函数
实部曲面：u(x,y) = e^x * cos(y)。这是一个随着 x 增大幅度不断增大的周期振荡波形。
虚部曲面：v(x,y) = e^x * sin(y)。同样是一个振幅增长的周期波形，但与实部曲面存在 π/2 的相位差。
调和函数：它的实部和虚部本身都是调和函数（满足拉普拉斯方程 ∇²u=0）。
信号处理：它描述了复指数信号的实部和虚部，是傅里叶分析和信号处理的基础。
ReImPlot3D(exp(x),x=[-2-2@i,2+2@i])
4. 对数函数
实部曲面： 这个曲面是一个关于原点对称的曲面，形状像一个“漏斗”或“火山口”。
虚部曲面： 虚部曲面是复平面 (x, y)(x,y) 本身（即高度始终为0的平面）。
电磁学：在二维静电学中，\ln(|z|)ln(∣z∣) 表示一个无限长线电荷的电势（泊松方程的解）。
流体力学：描述不可压缩流体的源或汇的 velocity potential（速度势），其中流体从原点流出或流入。
ReImPlot3D(ln(abs(x)),x=[-3-2@i,3+3@i])
5. 三角函数
实部曲面： u(x, y) = sin(x)*cosh(y) 整体形状像一系列“振荡的山脊”，在 y=0y=0 附近振幅较小，远离时振幅变大。
虚部曲面： 整体形状像一种“扭曲的 saddle 形状”，在 y=0y=0 处为0，随 |y|∣y∣ 增大而振幅增大。
ReImPlot3D(sin(x),x=[-2@pi-2@pi*@i,2@pi+2@pi*@i])
多曲面复变函数的实部和虚部关系三维图
ReImPlot3D(expression1, expression2, ...)用于同时比较多个复变函数在复平面上的行为。这种可视化方法特别有助于理解函数之间的关系、对称性和变换特性。
特别适合研究函数族、变换对和特殊函数之间的关系。
1. 多值函数，通过分支切割定义其主值
实部曲面: Re(asin(z)) 曲面, Re(acos(z)) 曲面, 两个实部曲面之间的关系反映了恒等式 Re(asin(z)) + Re(acos(z)) = π/2
虚部曲面: Im(asin(z)) 曲面, Im(acos(z)) 曲面, 在分支切割线上有不连续性
三维可视化直观展示了 asin(z) + acos(z) = π/2 在复平面上的表现, 清晰地显示了分支切割的位置和性质
ReImPlot3D(asin(x),acos(x),x=[-4-4@i,4+4@i])
2. 指数函数与对数函数
实际意义：
展示指数函数和对数函数作为互逆运算的关系
揭示指数函数的周期性和对数函数的多值性之间的关系
曲面特征：
exp(z) 的实部和虚部都是周期振荡的曲面
log(z) 的实部是径向对称的曲面，虚部是幅角函数（螺旋状曲面）
ReImPlot3D(exp(z),log(z),z=[-2-2@i,2+2@i])
3. 双曲函数与三角函数
实际意义：
展示双曲函数与三角函数之间的深刻联系：sinh(iz) = i sin(z) 和 cosh(iz) = cos(z)
在物理学中，这对理解振动问题（三角函数）和悬链线问题（双曲函数）之间的关系很重要
在相对论中，双曲函数描述快度，而三角函数描述旋转，这种对应关系有重要意义
曲面特征：
三角函数的实部和虚部是周期振荡的曲面
双曲函数的实部和虚部是指数增长/衰减的曲面
可以观察到通过虚数变换 z → iz 时，双曲函数曲面如何转换为三角函数曲面
ReImPlot3D(sinh(z),cosh(z),sin(z),cos(z),z=[-2-2@i,2+2@i])
4. 特殊函数
实际意义：
Gamma 函数是阶乘在复平面上的推广，在数论、概率论和物理学中有广泛应用
同时显示 Gamma 函数及其倒数有助于理解函数的极点和零点分布
在量子场论中，Gamma 函数出现在费曼积分计算中
曲面特征：
Gamma(z) 的曲面在负整数处有极点（趋向无穷）
1/Gamma(z) 的曲面在负整数处有零点（趋向零）
可以清晰地看到函数在正实轴上的增长行为以及在其他区域的振荡行为
ReImPlot3D(gamma(z),1/gamma(z), z=[-4-4@i,4+4@i])