RiemannSphereComplexPlot 黎曼球复变函数图

    黎曼球复变函数图

    RiemannSphereComplexPlot(exp)提供复变函数在整个扩展复平面（包括无穷远）上的全景视图。

    在标准复平面上，函数在无穷远的行为很难可视化（通常用箭头表示趋于无穷的方向）。在球面上，这直接对应函数值在北极N附近的行为。

    许多复变变换（特别是分式线性变换/Möbius 变换）在黎曼球面上有非常简洁和优美的几何解释（旋转、缩放、平移）。

    函数在无穷远点的性质（极点、本性奇点、可去奇点）可以通过分析其在北极 N 附近的行为来定义和研究。

    1. 分式线性变换 (Möbius 变换) 之一

    清晰展示了分式线性变换在黎曼球面上的全局等距（保角）性质，以及无穷远点与有限点的互换

    RiemannSphereComplexPlot(1/z, z=[-2-2@i, 2+2@i])

    2. 正弦函数是整函数（全平面解析），但超越整函数，有无穷多个零点

    生动展示了本性奇点在无穷远处的复杂行为，这是标准复平面绘图难以清晰表现的（通常只能看到模的爆炸增长或振荡，但无法同时体现其“填满”整个邻域的特性）。

    RiemannSphereComplexPlot(sin(z), z=[-4-4@i,4+4@i])

    3. 指数函数是整函数，没有零点

    直观地展示了指数函数的周期性、模随实部的指数变化规律，以及本性奇点在无穷远处的行为（不同路径趋向无穷导致函数值行为迥异：趋向北极、趋向南极、或绕赤道旋转）。

    RiemannSphereComplexPlot(exp(z), z=[-4-4@i,4+4@i])

    4. 这是一个有理函数（亚纯函数），在 z = ±i 处有单极点

    清晰地展示了一个简单亚纯函数的全局结构：两个有限极点（映射到 N），一个在无穷远的零点（映射到 S）。

    这是理解更复杂有理函数零极点分布的基础。

    在系统理论（如控制论、信号处理）中，这种零极点图（通常在复平面上画）对分析系统稳定性至关重要，黎曼球面提供了一种包含无穷远点的完整视角。

    RiemannSphereComplexPlot(1/(z^2+1), z=[-3-3@i,3+3@i])